縱觀考研數(shù)學(xué)多年來的考試大綱和考試真題試卷，總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識點基本相同或相近，考試題型的變化幅度也不是很大，其中有一些重要題型是年年考或經(jīng)常考，如果考生能完全掌握這些重要題型的解題思路和方法，并能熟練地解答這些題型，則對于順利地通過考研數(shù)學(xué)考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學(xué)會并提高解答數(shù)學(xué)重要題型的水平，考研輔導(dǎo)老師針對歷年考研數(shù)學(xué)中的重要題型進行深入解剖，分析提煉出各種常考重要題型及方法，供考生們參考。下面主要分析高等數(shù)學(xué)中關(guān)于方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法。

題型：方程根的個數(shù)問題（一）

方程 =0的根，也就是函數(shù) 的零點，有關(guān)方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關(guān)理論加以分析和解決。

主要的分析解決工具包括：

1）函數(shù)零點定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ，則至少存在一點 ，使 （ 稱為函數(shù)的零點）。

2）函數(shù)單調(diào)性：若函數(shù) 在 上連續(xù)且單調(diào)（單調(diào)增加或單調(diào)減少），則：1）當(dāng) 時， 在 上有唯一零點；2）當(dāng) 時， 在 上沒有零點。

3）羅爾中值定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，在 上可導(dǎo)，且 ，則至少存在一點 ，使 。

一般求解步驟：

1）先看有無明顯的實根；

2）引入相應(yīng)函數(shù)，寫出定義域，判斷端點函數(shù)值和特殊點函數(shù)值的正負；

3）求導(dǎo)數(shù)，找出駐點和單調(diào)區(qū)間，討論在各單調(diào)區(qū)間上的實根個數(shù)。

典型例題

例1.求方程 不同實根的個數(shù)，其中k為參數(shù)                                （2011年考研數(shù)學(xué)一第17題）

解析：顯然 =0是一個實根。令 ，則 ， ， ， ；若 ， 單調(diào)減少， 只有唯一零點，即原方程只有唯一實根x=0；

1）若 ， 在 上都是單調(diào)減少，且 ，故 只有唯一零點，原方程只有唯一實根x=0；

2）若 ，當(dāng) 時， ， 單調(diào)增加，而 ，所以 ；當(dāng) 時， ， 單調(diào)減少；由此得： 在區(qū)間 上各有一個零點，即原方程在這3個區(qū)間上各有一個實根。

綜上得：當(dāng) 時，方程只有一個實根；當(dāng) 時，方程有3個不同實根。

例2.設(shè)有方程 ，其中 為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實根 ，并證明當(dāng) 時，級數(shù) 收斂  （2004年考研數(shù)學(xué)一第18題）

解析：設(shè) ，則 ，由零點定理知 在（0,1）上至少有一個零點。而 ，故 在（0，+∞）上單調(diào)增加，因此， 在（0，+∞）上只存在唯一一個零點 ，且0< <1，由 ，得 ，當(dāng) 時，級數(shù) 收斂，由正項級數(shù)的比較審斂法知， 收斂。

注：n次方程有n個根，因此方程 的負實根可能有很多個（可能還有復(fù)數(shù)根）。

上面就是考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)中的方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續(xù)向考生們介紹其它常考重要題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位考生在2015考研中取得佳績。

題型：方程根的個數(shù)問題（二）

方程 =0的根，也就是函數(shù) 的零點，有關(guān)方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關(guān)理論加以分析和解決。這類問題的主要分析解決工具包括：函數(shù)零點定理，函數(shù)單調(diào)性，羅爾中值定理。關(guān)于這些理論，在前一篇文章中已經(jīng)做了說明，下面主要看一些典型例題。

典型例題

例1.（2012年考研數(shù)學(xué)二第21題）

（Ⅰ）證明方程 （ 為整數(shù)）在區(qū)間 內(nèi)有且僅有一個實根；

（Ⅱ）記（Ⅰ）中的實根為 ，證明 存在，并求此極限

解析：（Ⅰ）令 ，則 ， ， 連續(xù)，由零點定理得， 在區(qū)間 內(nèi)有一個實根，又 ， 在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加，故 在區(qū)間 內(nèi)僅有一個實根。

（Ⅱ）由 ， 得 ，而 在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加，故 ，即 單調(diào)減少，又 ，所以 存在，設(shè) ，則由 ，得 ，因為 ，所以 ，上式取極限得 ，

例2.（2005年考研數(shù)學(xué)三第7題）

當(dāng) 取下列哪個值時，函數(shù) 恰有兩個不同的零點（    ）

（A） 2         （B） 4         （C） 6         （D） 8

解析：函數(shù)定義域為（－∞，＋∞），令 ，得 ，因為 ，所以 為極大值， 為極小值。由 知，

當(dāng) 或 時， 恰有兩個不同的零點，解之得 或 ，應(yīng)選（B）

例3.（2000年考研數(shù)學(xué)一第九題）設(shè)函數(shù) 在[0,π]上連續(xù)，且 ， ，試證：在（0,π）內(nèi)至少存在兩個不同的點 ，使 .

證：分析：由條件 和推廣的中值定理易知，存在 ，問題的關(guān)鍵是怎么利用第二個條件。為此，令 ，則 ，  ，由推廣的中值定理得，存在 ，使 ， ，而 ，分別在 上利用羅爾定理可得，存在 ，使 ，即 。

例4.設(shè) ，則 的不同實根個數(shù)為（    ）

解析：5個。由 ，根據(jù)羅爾定理知， 在區(qū)間（1,2），（2,3），（3,4）中各有1個實根，又x=3是 的二重根，故x=3是 的單根，同理，x=4是 的二重根。 是6次方程，共有6個實根（x=4是二重），不同實根個數(shù)為5.

上面就是考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)中的方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續(xù)向考生們介紹其它常考重要題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位學(xué)子在2015考研中取得佳績。