2015考研數(shù)學(xué)多元積分和無窮級數(shù)真題考點總結(jié)
[摘要] 對于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，除了按照數(shù)學(xué)考試大綱的要求對知識點進行全面的復(fù)習(xí)外，要想取得高分，還應(yīng)該對往年的考研數(shù)學(xué)試題的規(guī)律、風(fēng)格和特點有較全面的認識，這樣才能做到心中有數(shù)、知己知彼，一考成功.
在每年的全國碩士研究生入學(xué)考試中，數(shù)學(xué)總分是150分，占了較大比重，數(shù)學(xué)能否復(fù)習(xí)好、考好，對考研能否成功有較大影響。對于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，除了按照數(shù)學(xué)考試大綱的要求對知識點進行全面的復(fù)習(xí)外，要想取得高分，還應(yīng)該對往年的考研數(shù)學(xué)試題的規(guī)律、風(fēng)格和特點有較全面的認識，這樣才能做到心中有數(shù)、知己知彼，一考成功。為了幫助廣大考生復(fù)習(xí)好、考好數(shù)學(xué)，下面對考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級數(shù)的真題考點進行分析總結(jié)。內(nèi)容包括：重積分及其應(yīng)用、曲線積分和曲面積分、無窮級數(shù)，這幾部分內(nèi)容的考點分布規(guī)律如下表所示。
近15年考研數(shù)學(xué)（一）中的多元函數(shù)積分學(xué)和無窮級數(shù)的真題考點分析：
| 內(nèi)容 年份 | 重積分及其應(yīng)用 | 曲線與曲面積分 | 無窮級數(shù) |
| 2000 | 八(球體重心) | 二(2)(曲面積分對稱性)，五(格林)，六(高斯，微分方程) | 二(3)(斂散判斷)，七(收斂區(qū)間) |
| 2001 | 一(3)(二次積分)，八(雪堆融化，體積，側(cè)面積) | 六(斯托克斯) | 五(函數(shù)展開，數(shù)項求和) |
| 2002 | 五(二重積分，分區(qū)) | 六(格林) | 二(2)(斂散判斷)，七(Ⅰ)(逐項求導(dǎo)，微分方程) |
| 2003 | 八(球面坐標(biāo)，極坐標(biāo)，變限求導(dǎo)) | 五(格林，對稱性) | 一(3)(傅里葉系數(shù))，四(函數(shù)展開，數(shù)項求和) |
| 2004 | 10(交換次序，變限求導(dǎo)) | 3(參數(shù)法，格林)，17(高斯) | 9(斂散判斷，反例法)，18(比較審斂，零點定理) |
| 2005 | 15(極坐標(biāo)，分區(qū)，取整函數(shù)) | 4(高斯)，19(格林，路徑無關(guān)，微分方程) | 16(收斂區(qū)間，求和) |
| 2006 | 8(極化直)，15(極坐標(biāo)，對稱性) | 3(高斯)，19(格林，偏導(dǎo)) | 9(斂散判斷)，17(函數(shù)展開) |
| 2007 | 6(曲線積分正負)，14(曲面積分對稱性)，18(高斯) | 20(逐項求導(dǎo)，微分方程，求和) | |
| 2008 | 12(高斯)，16(參數(shù)法，格林) | 11(收斂域)，19(傅里葉級數(shù)) | |
| 2009 | 2(大小比較，對稱性)，12(球面坐標(biāo)，對稱性) | 11(曲線積分)，19(高斯) | 4(斂散判斷，比較審斂，反例法)，16(數(shù)項求和，面積) |
| 2010 | 4(定義求和)，12(立體形心) | 11(參數(shù)法，格林)，19(曲面積分，切平面，投影) | 18(收斂域，和函數(shù)) |
| 2011 | 19(交換次序，分部積分，抽象函數(shù)) | 12(參數(shù)法，斯托克斯) | 2(收斂域) |
| 2012 | 12(曲面積分)，19(格林) | 17((收斂域，和函數(shù))) | |
| 2013 | 19(旋轉(zhuǎn)體方程，立體形心) | 4(格林，參數(shù)法) | 3(傅里葉，延拓，周期性)，16(逐項求導(dǎo)，微分方程) |
| 2014 | 3(交換次序，直化極) | 12(參數(shù)法，斯托克斯)，18(高斯，對稱性，投影法) | 19(證數(shù)列收斂、級數(shù)收斂) |
上面表格中數(shù)字表示相應(yīng)年份的試卷中考題的題號，數(shù)字后面括號里的文字說明表示該考題涉及的主要考點或主要解題方法。
注：1）“格林”、“高斯”、“斯托克斯”分別指格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，2）“極化直”和“直化極”指重積分計算中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，3）“交換次序”指交換累次積分的次序，5）“變限求導(dǎo)”指對變限積分函數(shù)求導(dǎo)，6）“數(shù)項求和”指常數(shù)項級數(shù)的求和，7）“定義求和”指利用重積分定義求若干項和的極限，8）“抽象函數(shù)”指不是用具體數(shù)學(xué)函數(shù)表示的函數(shù)，9）“延拓”指對函數(shù)進行奇延拓或偶延拓、周期延拓，以便利用傅里葉級數(shù)理論，10）“對稱性”指積分區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性，二者結(jié)合在一起，對積分進行化簡計算。
從近15年考題特點來看，關(guān)于重積分及其應(yīng)用方面的內(nèi)容，最基本最常考的內(nèi)容是二重積分的計算，考生應(yīng)該熟練掌握其各種常用的計算方法和技巧，包括利用對稱性計算、必要時進行分區(qū)域計算、交換積分次序計算、利用極坐標(biāo)計算；其次是三重積分的計算，常用方法包括：直角坐標(biāo)計算、球面坐標(biāo)計算、柱坐標(biāo)計算；關(guān)于重積分的應(yīng)用，重點應(yīng)該掌握面積、體積和質(zhì)心（形心）的計算；除此之外，有時會考重積分大小的比較、利用重積分的定義求數(shù)項和的極限；另外，這部分內(nèi)容有時會用到變限積分函數(shù)的求導(dǎo)公式，大家要能熟練運用。
關(guān)于曲線和曲面積分，這是數(shù)學(xué)一的一個考試重點，每年必考，并且時常考一道大題（10分以上）和一道小題（4分）。這方面最常考的題型有3類：運用參數(shù)法計算曲線積分、運用格林公式計算曲線積分和運用高斯公式計算曲面積分。除此之外，有時也會考查運用斯托克斯公式計算曲線積分。對于第一類曲線和曲面積分的基本計算大家也應(yīng)該掌握，另外，在曲線和曲面積分的計算中，要會運用對稱性簡化計算，提高解題效率。
關(guān)于無窮級數(shù)方面，同曲線曲面積分類似，它也是數(shù)學(xué)一的一個重要考點，每年必考，有時也會考兩道題，一道大題（10分以上）和一道小題（4分）。常考的題型主要有兩類：一類是無窮級數(shù)收斂或發(fā)散的判斷，另一類是無窮級數(shù)的求和，求和過程中常用逐項求導(dǎo)和逐項積分的方法，對于常數(shù)項級數(shù)的求和，常借助冪級數(shù)的求和方法計算。除了這兩類題型外，有時也會考查傅里葉級數(shù)，大家對它的基本概念和方法也應(yīng)該掌握。另外，關(guān)于無窮級數(shù)的求和問題，也時常結(jié)合微分方程進行考查，題目有一定的綜合性，大家對此要有所準(zhǔn)備并會計算。
